Cuando hacemos el dibujo de un objeto, dependiendo de la perspectiva en la que nos coloquemos, ciertos elementos pueden resultar invariables mientras que otros se transforman. A los elementos que permanecen invariables los llamamos invariantes proyectivos. Podemos decir que un invariante proyectivo es la propiedad que comparten una proyección y su figura. Por ejemplo, tenemos que un ángulo no permanece invariable en una perspectiva, el hecho de que una mesa tenga ángulo recto en una esquina no quiere decir que yo la vea o la represente en el dibujo mediante un ángulo recto, al menos de forma general. Un punto en principio es un invariante proyectivo, al menos por regla general, de igual forma una recta es otro invariante proyectivo, a no ser que la recta sea perpendicular a nuestra pupila o lo que es lo mismo que coincida con el rayo visual haciéndola aparecer como un punto. Podemos decir que hay propiedades invariantes en la transformación de proyectar o seccionar como sucede en la perspectiva, como por ejemplo la incidencia, la intersección, la tangencia, la polar, la razón doble, etc. 

Sobre una recta hemos hecho una serie de números ordenados desde el menos infinito hasta el infinito. Se supone que siguiendo la dirección de la recta tenemos dos sentidos, a la izquierda podemos ir hasta el infinito de una forma progresiva y contando en negativo mientras que desde el punto cero podemos ir hacia el infinito a la derecha contando unidades positivas. Intuitivamente concluimos que una recta tiene dos  puntos en el infinito, los que corresponden a la los dos sentidos de la misma.

Construimos un par de rectas y un punto exterior P, una recta negra que enumeramos y por la que pasamos una radiación (un conjunto de rectas) por cada uno de sus puntos enumerados y por P. Este conjunto de rectas en color magenta cortan a la otra recta azul según otra serie de puntos que marcamos. Podemos observar por ejemplo que el punto 17 queda entre el 4 y el 14 sobre la recta azul, cosa que no sucede en la recta negra que tiene sus puntos en perfecto orden ¿Acaso se pierde el orden de los puntos?

 Cuando vemos una recta a (por definición infinita en longitud) y la representamos sobre el plano del papel o del cuadro, su imagen es otra recta infinita a’. Por ejemplo tenemos la recta a, y desde el punto de vista dibujamos su perspectiva, tenemos que cada punto de la recta 123  tiene su correspondiente en el plano del cuadro 1’2’3’, se dice que es una homografía, pero qué pasa cuando intento obtener la imagen del punto final de la recta, del punto que está en el horizonte del plano. Si las rectas ma, son paralelas en sentido estricto consideramos que no se cortan, ello quiere decir que la perspectiva del punto del final no existe, con lo cual la proyección de la recta a sobre el plano del cuadro sería otra recta menos el homólogo del punto del infinito. Ello llevaría a una contradicción manifiesta, la imagen de una recta o perspectiva de la misma sería otra recta menos1 punto, la de esta última sería otra menos otro punto añadido, o sea menos 2, la imagen de la siguiente sería otra recta menos 3 puntos, etc. Debemos concluir en consecuencia que las rectas ma paralelas se cortan en un punto del infinito y que por tanto el homólogo de este punto es el punto de fuga. Tenemos por tanto que la recta a tiene un punto el infinito, con lo que la recta proyectiva es una recta cerrada cuyos dos sentidos de la recta llevan al mismo punto del infinito.

Si seguimos el mismo procedimiento con todas las rectas del plano, tendremos que todas sus rectas homólogas interceptan en el plano del cuadro puntos de desvanecimiento que están sobre una misma recta, y ésta es la homóloga del infinito del plano.

Curiosamente podemos observar en el dibujo que la propiedad de estar entre dos puntos no permanece invariable, por ejemplo podemos observar que sobre el plano geometral en el dibujo en color rojo y azul, la recta tiene los puntos siguiendo el orden 1, 2,3, mientras que su perspectiva aparece como 1, 3,2. Ello no quiere decir que se pierda el orden, ya que si así fuera cabría la posibilidad de que observando una regla milimetrada y con un ángulo grande de visión, podríamos ver que los centímetros de la misma aparecerían salteados bajo cierto punto de vista cosa que no sucede. Por el contrario, el hecho de que la imagen del punto del infinito sea el punto de fuga, quiere decir que la consecución de puntos 2,3, van hasta el infinito y vuelven del infinito para llegar o volver al punto 1.

Un plano secante corta al cono mediante una curva llamada hipérbola. Es el caso en el que el plano de corte es paralelo a dos generatrices del cono.

En el dibujo podemos observar la figura inversa de la hipérbola sección del cono. La hipérbola en color rojo con sus dos ramas se transforma en una figura en forma de infinito en color amarillo y cuyo nombre es lemniscata. Como ésta curva tiene su centro en el de inversión su figura homóloga tiene un punto en infinito (su inverso), el que corresponde al centro de la hipérbola.

En la geometría proyectiva podemos ver un caso distinto al anterior, una circunferencia se transforma en hipérbola por homología. Como la circunferencia corta en dos puntos a la recta límite u homóloga de la recta del infinito del plano que contiene a la hipérbola, se tiene que la hipérbola tiene necesariamente dos puntos en el infinito.

Tenemos que la rama de la hipérbola H tiene un punto de contacto con la asíntota n en el infinito, pero como la asíntota tiene un único punto en el infinito, la otra rama de la hipérbola tiene el punto común en el infinito según la dirección y sentido determinado por la rama H’. En consecuencia la rama H de la hipérbola y la recta n (tramo de la asíntota) se cortan en el infinito y la rama H’ y la recta S se cortan en un punto del infinito, este punto es el mismo. Sucede lo mismo con la otra dirección que define la otra asíntota m. En este caso tenemos dos direcciones y en cada dirección un punto del infinito común a cada rama de la hipérbola y a la asíntota, en consecuencia la hipérbola tiene necesariamente dos puntos en el infinito, los que corresponden a sus asíntotas.

Para obtener el inverso de un punto dado P respecto a la circunferencia de autonversión de centro O, se une este punto P con el centro de inversión O mediante una recta y se hace desde este punto P una recta tangente t a la circunferencia de autonversión, se baja una recta perpendicular f a la recta anterior y en el punto de corte P’ de ambas tenemos el punto inverso del punto dado. Se dice que los puntos PP’ son inversos respecto al centro O.

 

En el dibujo podemos observar un cuadrado en color naranja y su figura inversa, toda la superficie que aparece en el dibujo de color verde, esto es, la comprendida entre los dos arcos de circunferencia c’ d’ y las dos rectas a’ b’ que acotan la figura mediante un degradado verde hasta el infinito. El cuadrado tiene uno de los vértices sobre el centro de la inversión O, ello quiere decir que su homólogo inverso está en el infinito, por lo tanto las rectas a b se transforman en las rectas a’ b’ y se tiene que ambas pese a estar en ángulo recto se cortan en dos puntos, en el centro de inversión O y en su homólogo en el infinito. En esto tenemos que concluir que todas las rectas que pasan por el centro de inversión se cortan en este punto y en el del infinito, aquí ya no sucede como en la geometría proyectiva donde las paralelas se cortan en un punto, aquí las rectas se cortan en el punto del infinito siempre y cuando pasen por el centro de inversión O, al margen del ángulo que formen entre ellas, además de cortarse también en el centro de inversión.

Aquí podemos observar un triángulo ABC formado los colores verde y violeta y su figura inversa, formada por la región comprendida entre las tres circunferencias secantes y el infinito, esto es la superficie en color magenta. Tenemos nuevamente que las tres circunferencias secantes se cortan en un punto cuyo homólogo está en el infinito, por tanto las tres rectas del triángulo tendrán un punto común en el infinito.

Observamos nuevamente un cuadrado y su figura inversa respecto a la circunferencia de autoinversión y centro de inversión P. La inversa del cuadrado es la figura formada por los cuatro arcos a’b’c’d’ hasta el infinito, esto es, toda la región en color azul que está fuera de la circunferencia. Observamos en el dibujo que las figuras inversas de los lados del cuadrado abcd  son las semicircunferencias a’b’c’d’ cuyos extremos están en los vértices del mismo.

El cuadrado tiene vértices incidentes en la Circunferencia de autoinversión AUTO, mientras que sus lados son paralelos dos a dos. Como las figuras inversas de los lados del cuadrado, que son las circunferencias, se cortan en el centro de inversión, ello significa que los lados del cuadrado tendrán también un punto común en el infinito, el homólogo del centro de inversión.

En la figura observamos una inversión con su centro en el punto P que transforma una figura formada por cuatro círculos en un cuadrado, aquel que definen los cuatro lados de abcd en color rosa hasta el infinito. Observamos que los cuatro lados del cuadrado tienen por inversos cuatro circunferencias con un punto en común, el que corresponde al centro de inversión P, de ello se desprende nuevamente que las cuatro rectas tienen también un punto único en el infinito, por oposición a las paralelas en la geometría proyectiva que tendrían dos a dos un punto común, o sea, dos puntos en el infinito en total.